C. C. Blog

Security Research, Algorithm and Data Structure

卡特兰数

一、引入

出栈序

二、推导(摘自百度百科)

对于每一个数来说,必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态'1',出栈设为状态'0'。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b),因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数,1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求(由左而右扫描,0的累计数大于1的累计数)的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数,此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换,使之成为n- m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数,由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应。

显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n-1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。

三、应用

给定n对括号,求括号匹配的种数。

出栈限制类问题。

  • 本文作者: CCWUCMCTS
  • 本文链接: https://ccwucmcts.github.io/posts/54838/
  • 版权声明: 本博客所有文章除特别声明外,均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处!